多关节机器人的运动学动态仿真研究

    机器人技术是一门最近三十多年间发展起来的科学技术，随着机器人的普及与应用领域的不断扩大，对机器人的性能要求(如实时控制、动作精度、可靠性等)也不断提高，因此，为了能快速对机器人进行运动学分析，实现机器人机构和控制器的优化设计以及规划出优化的机器人运动轨迹，开发工业机器人的图形仿真系统是一个重要的手段。

    机器人仿真是机器人研究的一项很重要的内容，它涉及机器人机构学、机器人运动学、机器人零件建模、仿真机器人三维实现和机器人运动控制等，是一项具有创新意义和实用价值的研究课题。仿真利用计算机可视化和面向对象的手段，模拟机器人的动态特性，帮助研究人员了解机器人工作空间的形态及极限，揭示机构的合理的运动方案和控制算法，从而解决在机器人设计、制造和运行过程中的问题，避免了直接操作实体可能造成的事故和不必要的损失。

    一个机器人应用项目开发之前，如果利用机器人仿真软件先制作出设计方案中的机器人模型，为机器人本体方案设计提出依据，并在这台“机器人”上模拟能够实现的功能，使用户直接看到设计效果，及时找出缺点和不足，进行改进，这将使机器人的研究和生产进入一个可预知的新时代。一个新的机器人工作程序编制完成后，先在仿真软件中观察运行结果，分析检验轨迹规划和作业规划的正确性和合理性，为离线编程的技术的研究提供已知有效的验证手段^[1]。

    MATLAB是由美国Mathworks公司于1984年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件．具有良好的用户界而、通用性好、功能强大。是工程人员进行科研工作的有效工具^[2]论文主要利用MATLAB语言对多关节机器人操作机进行运动学分析得到不同关节角度下的机器人末端执行器的位姿。

    2.  机器人运动学分析

    2.1  机器人运动学概述

    工业机器人运动学涉及到机器人手臂(机械手)相对于固定参考坐标系原点几何关系的分析研究，特别机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节空间变量之间的关系。这里讨论机器人运动学的两个具有理论和实际意义的基本问题^[3]：

    1) 对一给定的工业机器人运动模型，己知杆件几何参数和关节角矢量θ₁，θ₂，．．．，θ，其中n自由度数，求机械手末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。

    2) 已知机器人关键的几何参数，给定机械手末端执行器相对于参考坐标系的期望位姿，机械手能否使其末端执行器达到这个预期的位姿。如能达到，机械手有几种不同的状态可满足同样的条件。

    第一个问题常称为运动学正问题(直接问题)，第二个问题常称为运动学逆问题(解臂形问题)。由于机器人手臂的独立变量是关节变量，而作业通常是在参考坐标系中说明的，因此要较频繁地用到运动学逆问题。表示两种问题关系地简单方框图如图1所示。

    机械手可用一个开环关节链来建模，此链由数个刚体(杆件)串连而成。开链的一端固接在基座上，另一端是自由的，安装着工具(末端执行器)，用以操纵物体，或完成装配作业。关键的相对运动导致杆件的运动，是手定位于所需的方位上。在很多机器人应用问题中，人们感兴趣的是机械手末端执行器相对于固定参考坐标系的空间描述。

    由于机器人各杆件可相对于参考坐标系转动和平移，末端执行器的空间总位移是由杆件的角转动和直线平移形成的。于是，Denavit和Hartenberg提出了一直通用的办法，以矩阵代数来描述和表达机械手各杆件相对于固定参考系的空间几何学关系，称为D—H方法，连杆坐标系称为D—H坐标系。此方法用4×4齐次变换矩阵描述相邻两刚性杆件的空间关系，把运动学正问题简化位寻求把“手部坐标系”与“参考坐标系”联系起来的4×4等价齐次变换矩阵。这种齐次变换矩阵在推导机器人原点的动力学方程过程中也是很有用的。

图1  机器人运动学正问题和逆问题

    2.2  机器人运动学正解

    为了描述相邻杆件平移和转动的关系，提出一种位关节链中的每一杆件建立附加坐标系的矩阵方法。D-H方法是为每个关节处的杆件坐标系建立4×4齐次变换矩阵，表示它与前一个杆件坐标系的关系。这样，通过逐次变换，用“手部坐标”表示的末端执行器可被变换成用“基座坐标”表示，我们知道，这个运动学系统的惯性坐标系是建立在基座上的。

    设六关节机器人PUMA560各轴的原点依次称为O₁，O₂，…O₆，各参数定义参看机器人连杆坐标系，如图2所示。

    正向关节求解问题，即给出六个关节变量θ_i (i =1，2，…6)，求出手部位姿矢量n，o，a和p。用齐次变换矩阵A1描述第一杆相对于规定坐标系的位姿，a₂描述第二杆相对于规定坐标系的位姿，因此，第二杆系相对于固定坐标系的位姿₀²t=A₁A₂。其中，a _i代表D-H矩阵^{[4] [5]}：

   

    式中，d _i为沿杆i的轴线两个公垂线的距离；θ_i为垂直于杆件i的轴线的平面内两个公垂线的夹角；α _i为两个关节轴线沿公垂线的距离；α _i为在垂直于α的平面内的两个关节轴线的夹角。则机器人手部位姿方程为：

   

图2  机器人连杆坐标系

    2.3  机器人运动学反解

    对于具有6个自由度机器人的操作臂而言，运动学方程可以写成：

   

    方程左边表示机器人末端抓手相对于参考坐标系的位姿。根据机器人各关节变量q_i (i =1，2，…6)的值，计算出机器人末端抓手的位姿方程，称为机器人的运动学正问题，或运动学正解。反之，为了使机器人所握工具相对参考系的位姿满足给定的要求，计算相应的关节变量，这一过程称为运动学反解。从工程应用角度而言，机器人的运动学反问题往往更实际意义，它是机器人运动规划和轨迹控制的基础。正向运动学的解是唯一的，即各个关节变量给定之后，操作臂末端抓手或工具的位姿是唯一确定的。然而运动学反问题往往具有多重解，也可能不存在解。此外，对于运动学反解问题而言，仅仅用某种方法求解是不够的，还需要通过计算机仿真验证。在实际应用中，发现传统反变换法在一些情况下会产生漏解，不能满足工程的实际需要。

    求解运动方程时，我们从T₆开始求解关节位置。现使T₆的符号表达式的各元素等于T₆的一般形式，并据此确定θ₁，其他五个关节参数不可能从T₆求得，因为所求得的运动方程过于复杂而无法求解它们。我们可以由其他矩阵来求解它们。一旦求得θ₁之后，可由A₁^-1左乘T₆的一般形式，得：

    A₁^-1 T₆=¹T

    上式中，左边为θ₁和  各元的函数，可用来求解其他各关节变量，如θ₂，θ₃等。不断地用逆矩阵左乘，可得到下列四个矩阵方程式

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